Multiple View Geometry
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[14] Finite Camera MatrixMultiple View Geometry 2021. 4. 12. 14:19
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) The basic pinhole model 여기에서는 공간 내의 점들의 평먼 상의로의 central projection을 다룬다. Projection의 중심을 Euclidean coodrinate system의 origin으로 두고 image plane(focal plane)을 $z=f$라고 한다면 공간상의 점 $\textbf{X}=[X \ Y \ Z]^T$는 다음과 같이 image plane으로 mapping된다. $$ \begin{bmatrix} X & Y & Z \end{bmatrix}^T \ \..
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[13] 2D Homography Estimation (3)Multiple View Geometry 2021. 4. 11. 17:13
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Sampson error Reprojection error $\sum_i{[d(\textbf{x}_i, \hat{\textbf{x}_i})^2 + d(\textbf{x}'_i, \hat{\textbf{x}'}_i)^2]}$는 non-linear variety(conic or quadric etc.)에 의해 정의되므로 이를 0으로 만드는 linear한 방법은 존재하지 않는다. 따라서 여기에서는 iteration을 통해 해를 구할 수 있으며 이 과정에서 Sampson error가 사용된다. Homograp..
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[12] 2D Homography Estimation (2)Multiple View Geometry 2021. 4. 10. 19:10
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Symmetric transfer error and reprojection error 앞서 설명한 homography estimation은 첫 번째 이미지의 point measurement가 error free임을 가정했었다. 하지만 real case에서는 image measurement error가 두 이미지에서 모두 존재한다. Symmetric error 이러한 경우에 forward($H$), backward($H^{-1})$ transform을 모두 고려한 error이다. 이는 아래의 식과 같으며..
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[11] 2D Homography Estimation (1)Multiple View Geometry 2021. 4. 10. 15:10
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) 2D homograpy estimation $\mathbb{P}^2$ 에 존재하는 point $\textbf{x}_i$들의 집합과 같은 공간에서 그에 대응되는 다른 point $\textbf{x}'_i$들의 집합이 주어지면 두 이미지 간의 projective transform(homography)를 추정할 수 있다. (2) Geometric and algebric distance Homography를 추정할 때 $\textbf{x}'_i$와 $H\textbf{x}_i$ 두 점군 집합들 간의 차이는 ge..
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[10] Quadrics and dual quadricsMultiple View Geometry 2021. 4. 8. 15:22
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Quadrics Quadrics는 $\mathbb{P}^2$ conic의 $\mathbb{P}^3$ 확장이다. Quadric $Q$ 위의 한 점 $\textbf{X}$에 대하여 다음이 성립한다. 이 때 $Q$는 4 x 4 symmetric matrix이다. $$ \textbf{X}^T Q \textbf{X} = 0 $$ (2) Projective transformation Homography $H$에 의하여 quadrics는 다음과 같이 변형된다. $$ Q' = H^{-T} Q H^{-1} $$ (3)..
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[9] 3D Projective Geometry (2)Multiple View Geometry 2021. 4. 8. 13:24
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Line and it's dof in $\mathbb{P}^3$ 직선은 두 점 혹은 intersect하는 두 평면에 의해 정의된다. $\mathbb{P}^3$에서 평면의 dof는 3이고 이 두 평면을 intersect하는 직선위의 두 점과 평면간의 방정식을 세울 수 있으므로 $\mathbb{P}^3$에서 직선은 4의 dof를 갖는다. 4 dof를 갖는 vector의 homogeneous 표현은 5-vector 이기 때문에 직선을 5-vector로 표현하면 4-vector인 점 또는 평면과의 관계식을 정..
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[8] 3D Projective Geometry (1)Multiple View Geometry 2021. 4. 8. 08:24
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) From 2D to 3D 3D projective space에서의 기하학적 표현은 2D에서의 단순 확장이다. Point는 $\mathbb{P}^2$에서 3-vector였다면 $\mathbb{P}^3$에서는 4-vector $\begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix}$ 이다. Dual 관계 또한 확장으로 볼 수 있다. $\mathbb{P}^2$에서 point와 line이 dual 이었다면 $\mathbb{P}^3$에서는 point와 plane이 dual이다. (2) P..
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[7] Metric RetificationMultiple View Geometry 2021. 4. 7. 14:36
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Metric rectificiation Absolute dual conic은 metric rectification의 모든 정보를 포함한다. $$ {C_{\infty}^*}' = (H_P H_A) C_{\infty}^* (H_P H_A)^T = \begin{bmatrix} KK^T & KK^T\textbf{v} \\ \textbf{v}^T KK^T & \textbf{v}^T KK^T \textbf{v} \end{bmatrix} $$ 위 식으로부터 affine (K)와 projective($\textbf{..