[7] Metric Retification

본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다.

 

해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. 

 

 

 

(1) Metric rectificiation

 

Absolute dual conic은 metric rectification의 모든 정보를 포함한다. 

 

 

$$ {C_{\infty}^*}' = (H_P H_A) C_{\infty}^* (H_P H_A)^T = \begin{bmatrix} KK^T & KK^T\textbf{v} \\ \textbf{v}^T KK^T & \textbf{v}^T KK^T \textbf{v} \end{bmatrix} $$

 

위 식으로부터 affine (K)와 projective($\textbf{v}$)를 $C_{\infty}^*$를 이용하여 구할 수 있음을 알 수 있다.

 

만약에 affine recitification이 되어있다면 $\textbf{v}$를 0으로 두고 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

$$ {C_{\infty}^*}' = \begin{bmatrix} KK^T & \textbf{0} \\ \textbf{0}^T & 0 \end{bmatrix} $$

 

직선 $\textbf{l}', \ \textbf{m}'$가 affinely rectified된 orthogonal line pair라면 다음이 성립한다.

 

$$ \textbf{l}' {C_{\infty}^*}' \textbf{m}' = \begin{bmatrix} l_1' & l_2' & l_3' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} KK^T & \textbf{0} \\ \textbf{0}^T & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_1' \\ m_2' \\ m_3' \end{bmatrix} = 0$$

 

$KK^T$가 2 x 2 symmetric 행렬이므로 scale factor를 제외한 두 개의 independent element를 갖는다(dof=2) 따라서 두 개의 orthogonal line pair로 이를 결정할 수 있다.

 

일단 ${C_{\infty}^*}'$가 결정되면 $C' = HCH^T$이므로 다음과 같이 SVD를 통해 H를 구할 수 있다.

 

$$ {C_{\infty}^*}' = U \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} U^T $$

$$ H = U $$