[9] 3D Projective Geometry (2)

본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다.

 

해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. 

 

 

(1) Line and it's dof in $\mathbb{P}^3$

 

직선은 두 점 혹은 intersect하는 두 평면에 의해 정의된다. $\mathbb{P}^3$에서 평면의 dof는 3이고 이 두 평면을 intersect하는 직선위의 두 점과 평면간의 방정식을 세울 수 있으므로 $\mathbb{P}^3$에서 직선은 4의 dof를 갖는다. 4 dof를 갖는 vector의 homogeneous 표현은 5-vector 이기 때문에 직선을 5-vector로 표현하면 4-vector인 점 또는 평면과의 관계식을 정의하기가 어렵다. 이를 극복하기 위해 여러가지 새로운 직선의 표현이 제안되었다.

 

(2) Null-space and span representation

 

이 표현은 직선이 두 점의 span이라는 점에서 제안되었다. 어떤 점 $\textbf{A}, \ \textbf{B}$가 공간상의 서로 다른 두 점일 때 직선은 다음과 같이 2 x 4 matrix로 표현된다.

 

$$ W = \begin{bmatrix} \textbf{A}^T \\ \textbf{B}^T \end{bmatrix} $$

 

(3) Plucker matrices

 

직선은 또한 4 x 4 skew-symmetric homogenoues matrix로 표현될 수 있다. 두 점 $\textbf{A}$와 $\textbf{B}$를 join하는 직선은 matrix $\mathcal{L}$로 나타내어지며 $\mathcal{L}$은 다음과 같이 정의된다.

 

$$ \mathcal{L} = \textbf{A}\textbf{B}^T + \textbf{B}\textbf{A}^T $$

$$ l_{ij} = A_i B_j - B_i A_j $$

 

이 때 $\mathcal{L}$은 $\textbf{A}$와 $\textbf{B}$로 매개화 되지만 두 점과는 독립이다. 이는 같은 직선을 다른 두 점 pair에 대하여 정의할 수 있기 때문이다. 

 

Dual plucker representation은 두 개의 평면으로 매개화되는 직선의 표현이다. 평면 $\textbf{Q}$와 $\textbf{P}$가 intersect 하는 직선을 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

$$ \mathcal{L}^* = \textbf{P}\textbf{Q}^T - \textbf{Q}\textbf{P}^T $$

 

Plucker matrices를 사용하면 다음과 같은 표현들이 가능하다.

 

$$ {\mathcal{L}^*}' = H^{-T} L H^{-1} $$

 

$$ \boldsymbol{\pi} = \mathcal{L}^* \textbf{X} $$

 

$$ \mathcal{L}^* \textbf{X} = 0 \ \ iff \ \ \textbf{X} \ is \ on \ \mathcal{L}^* $$

 

$$ \textbf{X} = \mathcal{L}\boldsymbol{\pi} \ \ iff \ \ \textbf{X} \ is \ intersection \ point \ of \ line \ and \ plane $$