[8] 3D Projective Geometry (1)

본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다.

 

해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. 

 

 

(1) From 2D to 3D

 

3D projective space에서의 기하학적 표현은 2D에서의 단순 확장이다. Point는 $\mathbb{P}^2$에서 3-vector였다면 $\mathbb{P}^3$에서는 4-vector $\begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix}$ 이다. Dual 관계 또한 확장으로 볼 수 있다. $\mathbb{P}^2$에서 point와 line이 dual 이었다면 $\mathbb{P}^3$에서는 point와 plane이 dual이다.

 

(2) Plane and point

 

$\mathbb{R}^3$에서 plane의 표현은 $ax+by+cz+d=0$이고 $\mathbb{P}^3$에서는 $ax + by + cz + dw = 0$이다. 즉, 다음의 수식이 어떤 plane과 그 위의 point에 대하여 성립한다.

 

$$\boldsymbol{\pi}^T \textbf{x} = \begin{bmatrix} a & b & c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y & z & w \end{bmatrix} = 0 $$

 

또한 plane의 dof는 3이기 때문에 linearly independent한 3개의 point로 정의된다.

 

$$ \begin{bmatrix} \textbf{X}_1^T \\ \textbf{X}_2^T \\ \textbf{X}_3^T \end{bmatrix} \boldsymbol{\pi} = 0  $$

 

또한, determinant와 minor를 이용하여 점으로부터 다음과 같이 평면을 매개화할 수 있다.

 

$$ \textbf{M} = \begin{bmatrix} \textbf{X} & \textbf{X}_1 & \textbf{X}_2 &\textbf{X}_3 \end{bmatrix} \ where \ \textbf{X} \ is \ general \ point $$

$$ if \ X \ is \ on \ \boldsymbol{\pi}, \ det(\textbf{M})=0 $$

$$ det(\textbf{M}) = X_1 D_{234} - X_2 D_{134} + X_3 D_{124} - X_4 D_{123} $$

$$ \boldsymbol{\pi} = \begin{bmatrix} D_{234} & -D_{134} & D_{124} & -D_{123} \end{bmatrix}^T $$

 

추가적으로, 다음과 같이 평면의 normal과 한 점으로 다음과 같이 매개화 할 수 있다.

 

$$ Let \ \boldsymbol{X}_1 = \begin{bmatrix} \tilde{\boldsymbol{X}}_1 \\ 1 \end{bmatrix} $$

$$ D_{234} = \begin{vmatrix} Y_1 & Y_2 & Y_3 \\ Z_1 & Z_2 & Z_3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} Y_1 - Y_3 & Y_2 - Y_3 & Y_3 \\ Z_1 - Z_3 & Z_2 - Z_3 & Z_3 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = ((\tilde{\boldsymbol{X}}_1 - \tilde{\boldsymbol{X}}_3) \times (\tilde{\boldsymbol{X}}_2 - \tilde{\boldsymbol{X}}_3))_1 $$

$$ -D_{134} = ((\tilde{\boldsymbol{X}}_1 - \tilde{\boldsymbol{X}}_3)\times(\tilde{\boldsymbol{X}}_2 - \tilde{\boldsymbol{X}}_3))_2$$

$$ D_{124} = ((\tilde{\boldsymbol{X}}_1 - \tilde{\boldsymbol{X}}_3)\times(\tilde{\boldsymbol{X}}_2 - \tilde{\boldsymbol{X}}_3))_3$$

$$ D_{123} = -\tilde{\boldsymbol{X}}_3^T(\tilde{\boldsymbol{X}}_1 \times \tilde{\boldsymbol{X}}_2) $$

$$ \boldsymbol{\pi} = \begin{bmatrix} (\tilde{\boldsymbol{X}}_1 - \tilde{\boldsymbol{X}}_3)\times(\tilde{\boldsymbol{X}}_2 - \tilde{\boldsymbol{X}}_3) \\ -\tilde{\boldsymbol{X}}_3^T(\tilde{\boldsymbol{X}}_1\times\tilde{\boldsymbol{X}}_2) \end{bmatrix} $$

 

(3) Duality

 

$\mathbb{P}^2$에서 line과 point가 dual이었던 것 처럼 $\mathbb{P}^3$에서는 plane과 point가 dual이다. 따라서 다음과 같이 매개화가 가능하다.

 

$$ \begin{bmatrix} \boldsymbol{\pi}_1^T \\ \boldsymbol{\pi}_2^T \\ \boldsymbol{\pi}_3^T \end{bmatrix} \textbf{X} = 0 $$

 

(4) Porjective transformation

 

점 $\textbf{x}$가 homography $H$에 의해 $\textbf{x}'$로 변환될 때 plane $\boldsymbol{\pi}$는 $H^{-T}\boldsymbol{\pi}$ 로 변환된다.

 

$$ \textbf{x}'=H\textbf{x} \ \Leftrightarrow \ \boldsymbol{\pi}'=H^{-T}\boldsymbol{\pi} $$

 

(5) Parameterized points on a plane

 

$\mathbb{R}^3$에서 어떤 plane 위의 point는 다음과 같이 매개화될 수 있다.

 

$$ \textbf{X} = M \textbf{x} $$

$$ \boldsymbol{\pi}^T M = 0 $$

$$ M = \begin{bmatrix} -b/a & -c/a & -d/a \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$