[10] Quadrics and dual quadrics

본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다.

 

해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. 

 

 

(1) Quadrics

 

Quadrics는 $\mathbb{P}^2$ conic의 $\mathbb{P}^3$ 확장이다. Quadric $Q$ 위의 한 점 $\textbf{X}$에 대하여 다음이 성립한다. 이 때 $Q$는 4 x 4 symmetric matrix이다.

 

$$ \textbf{X}^T Q \textbf{X} = 0 $$

 

(2) Projective transformation

 

Homography $H$에 의하여 quadrics는 다음과 같이 변형된다.

 

$$ Q' = H^{-T} Q H^{-1} $$

 

(3) Dual quadric

 

$\mathbb{P}^3$ 에서 점과 평면은 dual이다. 따라서 dual quadric은 다음과 같이 평면으로 매개화된다.

 

$$ \boldsymbol{\pi}^T Q^* \boldsymbol{\pi} = 0 $$

 

또한 homography $H$에 대하여 다음과 같이 변형된다.

 

$$ {Q^*}' = H Q^* H^T $$