[12] 2D Homography Estimation (2)

본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다.

 

해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. 

 

 

Symmetric(upper) and reprojection(lower) errors

 

(1) Symmetric transfer error and reprojection error

 

앞서 설명한 homography estimation은 첫 번째 이미지의 point measurement가 error free임을 가정했었다. 하지만 real case에서는 image measurement error가 두 이미지에서 모두 존재한다.

 

Symmetric error 이러한 경우에 forward($H$), backward($H^{-1})$ transform을 모두 고려한 error이다. 이는 아래의 식과 같으며, 첫 번째 term은 $image_1$에서의 transfer error이고 두 번째 term은 $image_2$에서의 transfer error이다. 여기서 변수는 $H$이다.

 

$$ Symmetric \ error \ : \sum_i{[d(\textbf{x}_i, H^{-1}\textbf{x}'_i)}^2 + d'(\textbf{x}'_i, H\textbf{x}_i)^2]$$

 

Reprojection error는 symmetric error와는 다르게 measurement point를 변수로 둔 error이다. 측정된 두 point pair $\textbf{x}, \ \textbf{x}'$와 완벽하게 transform이 일치하는 $\hat{\textbf{x}}, \hat{\textbf{x}'}$간의 차이를 줄이기 위해 제안되었다. 수식은 아래와 같다.

 

$$ Reprojection \ error \ : \sum_i{[d(x_i, \hat{x}_i)^2 + d(x'_i, \hat{x}'_i)^2]}$$

 

(2) Geometric interpretation of reprojection error

 

두 개의 points $\textbf{a}$ 와 $\textbf{b}$간의 algebric distance가 최소가 되는 estimated points $\hat{\textbf{x}}$, $\hat{\textbf{x}'}$를 찾는 문제는 이 estimated points를 동시에 지나는 conic을 찾는 문제와 같다. Conic $C$위의 점은 homography $H$에 의해 $C'$ 위의 점으로 옮겨진다는 것을 고려할 때 estimated point가 conic 위의 점이라는 constraint가 도입된다.

 

두 point pair의 해를 구하는 문제가 $\mathbb{R}^2$에서의 conic fitting이었던 것과 마찬가지로, 4개의 point pair를 찾는 문제는 $\mathbb{R}^4$에서의 surface fitting 문제로 기하학적으로 이해할 수 있다. 이 surface는 $\mathbb{R}^4$에서의 quadric이다.