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[10] Quadrics and dual quadricsMultiple View Geometry 2021. 4. 8. 15:22
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Quadrics Quadrics는 $\mathbb{P}^2$ conic의 $\mathbb{P}^3$ 확장이다. Quadric $Q$ 위의 한 점 $\textbf{X}$에 대하여 다음이 성립한다. 이 때 $Q$는 4 x 4 symmetric matrix이다. $$ \textbf{X}^T Q \textbf{X} = 0 $$ (2) Projective transformation Homography $H$에 의하여 quadrics는 다음과 같이 변형된다. $$ Q' = H^{-T} Q H^{-1} $$ (3)..
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[9] 3D Projective Geometry (2)Multiple View Geometry 2021. 4. 8. 13:24
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Line and it's dof in $\mathbb{P}^3$ 직선은 두 점 혹은 intersect하는 두 평면에 의해 정의된다. $\mathbb{P}^3$에서 평면의 dof는 3이고 이 두 평면을 intersect하는 직선위의 두 점과 평면간의 방정식을 세울 수 있으므로 $\mathbb{P}^3$에서 직선은 4의 dof를 갖는다. 4 dof를 갖는 vector의 homogeneous 표현은 5-vector 이기 때문에 직선을 5-vector로 표현하면 4-vector인 점 또는 평면과의 관계식을 정..
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[8] 3D Projective Geometry (1)Multiple View Geometry 2021. 4. 8. 08:24
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) From 2D to 3D 3D projective space에서의 기하학적 표현은 2D에서의 단순 확장이다. Point는 $\mathbb{P}^2$에서 3-vector였다면 $\mathbb{P}^3$에서는 4-vector $\begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix}$ 이다. Dual 관계 또한 확장으로 볼 수 있다. $\mathbb{P}^2$에서 point와 line이 dual 이었다면 $\mathbb{P}^3$에서는 point와 plane이 dual이다. (2) P..
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[7] Metric RetificationMultiple View Geometry 2021. 4. 7. 14:36
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Metric rectificiation Absolute dual conic은 metric rectification의 모든 정보를 포함한다. $$ {C_{\infty}^*}' = (H_P H_A) C_{\infty}^* (H_P H_A)^T = \begin{bmatrix} KK^T & KK^T\textbf{v} \\ \textbf{v}^T KK^T & \textbf{v}^T KK^T \textbf{v} \end{bmatrix} $$ 위 식으로부터 affine (K)와 projective($\textbf{..
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[6] Absolute ConicMultiple View Geometry 2021. 4. 4. 22:18
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Absolute dual conic Absolute conic은 plane at infinity에 존재하는 conic이다. 이 conic의 dual $C_{\infty}*$는 metric rectification의 모든 정보를 포함한다. 2D projective space의 어떤 두 점 $\textbf{P}와 \textbf{Q}$를 통해 dual conic을 다음과 같이 매개화할 수 있다. $$ C^* = \textbf{P}\textbf{Q}^T + \textbf{Q}\textbf{P}^T $$ 즉 $..
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[5] Circular Point and SimilarityMultiple View Geometry 2021. 4. 4. 20:34
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. Homography $H$가 line at infinity를 보존할 때 $H$는 affine transfrom이다. 비슷하게 $H$가 circular points set을 보존할 때 H는 similarity이다. Circular point(absolute point)는 아래와 같이 complex number를 포함하는 두 개의 점이다. $$ \begin{bmatrix} 1 & \pm i & 0 \end{bmatrix} $$ 증명은 다음과 같다. $$ H \begin{bmatrix} 1 \\ i \\ 0 \en..
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[4] Line at Infinity and Affine RectificationMultiple View Geometry 2021. 4. 2. 14:19
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Invariant of affine transform 두 직선이 평행할 때, affine transform에 의해 변형된 이미지는 이 평행성을 보존한다. 반대로 projective transform된 직사각형 물체의 이미지를 affine rectification을 하면 평행사변형을 얻을 수 있다. (2) Affine rectification 본 블로그의 '[1] 2D Projective Plane'에서 소개한 line at infinity $\textbf{l}_{\infty}$의 이미지는 affine ..
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[3] Projective Transformation(Homography)Multiple View Geometry 2021. 4. 2. 08:24
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Definition of projective transformation Projective transform은 $\mathbb{P}^2$에서 $\mathbb{P}^2$로의 invertible mapping $h$이며 다른 용어로 homography라고도 한다. 이 transform은 몇 가지 종류로 나누어 지고 각 종류마다 변환 이후 보존되는 값들이 존재하며 이는 다음의 표와 같이 정리된다. (2) Calculation Projective transform은 $3 \times 3$ 행렬로 scale f..