전체 글
-
[8] 3D Projective Geometry (1)Multiple View Geometry 2021. 4. 8. 08:24
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) From 2D to 3D 3D projective space에서의 기하학적 표현은 2D에서의 단순 확장이다. Point는 $\mathbb{P}^2$에서 3-vector였다면 $\mathbb{P}^3$에서는 4-vector $\begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix}$ 이다. Dual 관계 또한 확장으로 볼 수 있다. $\mathbb{P}^2$에서 point와 line이 dual 이었다면 $\mathbb{P}^3$에서는 point와 plane이 dual이다. (2) P..
-
[7] Metric RetificationMultiple View Geometry 2021. 4. 7. 14:36
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Metric rectificiation Absolute dual conic은 metric rectification의 모든 정보를 포함한다. $$ {C_{\infty}^*}' = (H_P H_A) C_{\infty}^* (H_P H_A)^T = \begin{bmatrix} KK^T & KK^T\textbf{v} \\ \textbf{v}^T KK^T & \textbf{v}^T KK^T \textbf{v} \end{bmatrix} $$ 위 식으로부터 affine (K)와 projective($\textbf{..
-
[6] Absolute ConicMultiple View Geometry 2021. 4. 4. 22:18
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Absolute dual conic Absolute conic은 plane at infinity에 존재하는 conic이다. 이 conic의 dual $C_{\infty}*$는 metric rectification의 모든 정보를 포함한다. 2D projective space의 어떤 두 점 $\textbf{P}와 \textbf{Q}$를 통해 dual conic을 다음과 같이 매개화할 수 있다. $$ C^* = \textbf{P}\textbf{Q}^T + \textbf{Q}\textbf{P}^T $$ 즉 $..
-
[5] Circular Point and SimilarityMultiple View Geometry 2021. 4. 4. 20:34
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. Homography $H$가 line at infinity를 보존할 때 $H$는 affine transfrom이다. 비슷하게 $H$가 circular points set을 보존할 때 H는 similarity이다. Circular point(absolute point)는 아래와 같이 complex number를 포함하는 두 개의 점이다. $$ \begin{bmatrix} 1 & \pm i & 0 \end{bmatrix} $$ 증명은 다음과 같다. $$ H \begin{bmatrix} 1 \\ i \\ 0 \en..
-
[4] Line at Infinity and Affine RectificationMultiple View Geometry 2021. 4. 2. 14:19
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Invariant of affine transform 두 직선이 평행할 때, affine transform에 의해 변형된 이미지는 이 평행성을 보존한다. 반대로 projective transform된 직사각형 물체의 이미지를 affine rectification을 하면 평행사변형을 얻을 수 있다. (2) Affine rectification 본 블로그의 '[1] 2D Projective Plane'에서 소개한 line at infinity $\textbf{l}_{\infty}$의 이미지는 affine ..
-
[3] Projective Transformation(Homography)Multiple View Geometry 2021. 4. 2. 08:24
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Definition of projective transformation Projective transform은 $\mathbb{P}^2$에서 $\mathbb{P}^2$로의 invertible mapping $h$이며 다른 용어로 homography라고도 한다. 이 transform은 몇 가지 종류로 나누어 지고 각 종류마다 변환 이후 보존되는 값들이 존재하며 이는 다음의 표와 같이 정리된다. (2) Calculation Projective transform은 $3 \times 3$ 행렬로 scale f..
-
[2] Duality and ConicMultiple View Geometry 2021. 4. 1. 13:15
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Duality $\mathbb{P}^2$ 공간에서는 점과 직선이 대칭성(duality)를 보인다. 이는 해당 공간에서 성립하는 여러 점과 직선의 벡터 방정식에서 두 벡터의 위치를 바꾸어도 성립하는것을 의미한다. $$ \textbf{x}^T \textbf{l} = 0 \Leftrightarrow \textbf{l}^T \textbf{x}=0 $$ $$ \textbf{x} = \textbf{l} \times \textbf{l}' \Leftrightarrow \textbf{l} = \textbf{x} \ti..
-
[1] 2D Projective PlaneMultiple View Geometry 2021. 3. 31. 16:35
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) 2D projective space and homogeneous represenstation 2D 평면상에서의 직선은 다음과 같은 방정식으로 표현된다. $$ax+by+c=0$$ 따라서 직선을 결정짓는것은 계수 $a, b, c$이므로 이 직선을 다음과 같이 벡터 형식으로 표현할 수 있다. $$ \textbf{l} = [a \ b \ c]^T $$ 직선의 방정식을 따져보았을 때 $\textbf{l}$ 실수배 $k\textbf{l}$는 $\textbf{l}$과 같은 직선을 표현하는 벡터임을 알 수 있다. 이..