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[16] Back Projection and Depth EstimationMultiple View Geometry 2021. 4. 14. 15:53
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Back projection of points to ray Image plane상에 point $\textbf{x}$가 주어졌을 때 이 점으로 투영되는 ray는 P의 pseudo-inverse를 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다. $$ P^+ = P^T(PP^T)^{-1} \ , \ \ PP^+ = I $$ $$ P(P^+ \textbf{x}) = \textbf{x} \ \Leftrightarrow \ P^+ \textbf{x} \ \ lies \ on \ the \ ray$$ $$ Ray \ : ..
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[15] General Projective CamerasMultiple View Geometry 2021. 4. 14. 12:56
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) General projective cameras 일반적인 카메라 모델은 이전에 언급했다 싶이 다음과 같이 정리할 수 있다. $$ \textbf{X}_{cam} = R[I|-\tilde{\textbf{C}}]\textbf{X} $$ $$ \textbf{x} = K\textbf{X}_{cam}$$ $$ \textbf{x} = P\textbf{X} \ \ where \ \ P=KR[I|-\tilde{\textbf{C}}] $$ 즉, general projective camera $P$는 world point..
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[14] Finite Camera MatrixMultiple View Geometry 2021. 4. 12. 14:19
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) The basic pinhole model 여기에서는 공간 내의 점들의 평먼 상의로의 central projection을 다룬다. Projection의 중심을 Euclidean coodrinate system의 origin으로 두고 image plane(focal plane)을 $z=f$라고 한다면 공간상의 점 $\textbf{X}=[X \ Y \ Z]^T$는 다음과 같이 image plane으로 mapping된다. $$ \begin{bmatrix} X & Y & Z \end{bmatrix}^T \ \..
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[13] 2D Homography Estimation (3)Multiple View Geometry 2021. 4. 11. 17:13
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Sampson error Reprojection error $\sum_i{[d(\textbf{x}_i, \hat{\textbf{x}_i})^2 + d(\textbf{x}'_i, \hat{\textbf{x}'}_i)^2]}$는 non-linear variety(conic or quadric etc.)에 의해 정의되므로 이를 0으로 만드는 linear한 방법은 존재하지 않는다. 따라서 여기에서는 iteration을 통해 해를 구할 수 있으며 이 과정에서 Sampson error가 사용된다. Homograp..
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[12] 2D Homography Estimation (2)Multiple View Geometry 2021. 4. 10. 19:10
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Symmetric transfer error and reprojection error 앞서 설명한 homography estimation은 첫 번째 이미지의 point measurement가 error free임을 가정했었다. 하지만 real case에서는 image measurement error가 두 이미지에서 모두 존재한다. Symmetric error 이러한 경우에 forward($H$), backward($H^{-1})$ transform을 모두 고려한 error이다. 이는 아래의 식과 같으며..
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[11] 2D Homography Estimation (1)Multiple View Geometry 2021. 4. 10. 15:10
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) 2D homograpy estimation $\mathbb{P}^2$ 에 존재하는 point $\textbf{x}_i$들의 집합과 같은 공간에서 그에 대응되는 다른 point $\textbf{x}'_i$들의 집합이 주어지면 두 이미지 간의 projective transform(homography)를 추정할 수 있다. (2) Geometric and algebric distance Homography를 추정할 때 $\textbf{x}'_i$와 $H\textbf{x}_i$ 두 점군 집합들 간의 차이는 ge..
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[10] Quadrics and dual quadricsMultiple View Geometry 2021. 4. 8. 15:22
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Quadrics Quadrics는 $\mathbb{P}^2$ conic의 $\mathbb{P}^3$ 확장이다. Quadric $Q$ 위의 한 점 $\textbf{X}$에 대하여 다음이 성립한다. 이 때 $Q$는 4 x 4 symmetric matrix이다. $$ \textbf{X}^T Q \textbf{X} = 0 $$ (2) Projective transformation Homography $H$에 의하여 quadrics는 다음과 같이 변형된다. $$ Q' = H^{-T} Q H^{-1} $$ (3)..
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[9] 3D Projective Geometry (2)Multiple View Geometry 2021. 4. 8. 13:24
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Line and it's dof in $\mathbb{P}^3$ 직선은 두 점 혹은 intersect하는 두 평면에 의해 정의된다. $\mathbb{P}^3$에서 평면의 dof는 3이고 이 두 평면을 intersect하는 직선위의 두 점과 평면간의 방정식을 세울 수 있으므로 $\mathbb{P}^3$에서 직선은 4의 dof를 갖는다. 4 dof를 갖는 vector의 homogeneous 표현은 5-vector 이기 때문에 직선을 5-vector로 표현하면 4-vector인 점 또는 평면과의 관계식을 정..