[15] General Projective Cameras

본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다.

 

해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. 

 

 

(1) General projective cameras

 

일반적인 카메라 모델은 이전에 언급했다 싶이 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

$$ \textbf{X}_{cam} = R[I|-\tilde{\textbf{C}}]\textbf{X} $$

 

$$ \textbf{x} = K\textbf{X}_{cam}$$

 

$$ \textbf{x} = P\textbf{X} \ \ where \ \ P=KR[I|-\tilde{\textbf{C}}] $$

 

즉, general projective camera $P$는 world points \textbf{X}를 image plane상의 point $\textbf{x}$로 projection 한다.

 

(2) Camera centre and projection

 

Camera centre는 $\textbf{C}$는 $P\textbf{C}=0$을 만족 시키기 때문에 $P$의 1-dimensional right null-space이다. 이러한 점에서 공간상의 한 점 $\textbf{A}$와 camera centre $\textbf{C}$를 지나는 직선을 $\textbf{X}(\lambda)=\lambda \textbf{A} + (1-\lambda)\textbf{C}$로 표현한다면 다음과 같은 식을 보일 수 있다.

 

$$ \textbf{x} = P\textbf{X}(\lambda) = \lambda P \textbf{A} + (1-\lambda)P\textbf{C} = \lambda P \textbf{A} $$

 

즉, camera centre와 $\textbf{A}$를 지나는 ray 상의 모든 점은 image plane상의 $\lambda P \textbf{A}$로 projection 된다.

 

(3) Projection matrix and it's vectors

 

Column vectors of $P$ are points on image plane that projection of axis of world coordinate system

 

General camera model의 projection matrix는 다음과 같다.

 

$$ P = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} & p_{14} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} & p_{24} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} & p_{34} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \textbf{p}^{1T} \\ \textbf{p}^{2T} \\ \textbf{p}^{3T} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \textbf{p}_1 & \textbf{p}_2 & \textbf{p}_3 & \textbf{p}_4 \end{bmatrix} $$

 

이 projection matrix의 column vector들은 각각 world coordinate에서의 축방향 vanishing point를 의미한다. 예를 들어, $\textbf{p}_1$은 world coordinate system 상에서 X-axis 방향의로의 vanishing point이다. 이는 X-axis가 $\textbf{D} =[1 \  0 \ 0 \ 0]^T$라는 direction vector로 표현될 때, $\textbf{p}_1 = P\textbf{D}$임을 고려해 볼 때 X-axis상의 어떤 점들은 $\textbf{p}_1$으로 projection 되기 때문이다. 즉, 공간상의 X-axis 위의 점들은 모두 $\textbf{p}_1$로 투영된다. 따라서 column vector들이 갖는 기하학적 의미는 image plane 상의 한 점이며 이는 각각 world coordinate 상의 축들이 투영된 점 이다.

 

Geometric interpretation of row vectors of $P$ are the planes

 

Column vector와 마찬가지로 row vector들도 기하학적 의미를 갖는다. General projective camera matrix P의 row vector들은 각각 기하학적으로 plane에 해당한다. 특히 3번째 row vector $\textbf{p}^{3}$은 principal plane에 해당하는데, principal plane은 camera centre를 지나고 principal axis에 수직인 plane을 의미한다. 이 평면 상의 모든 점은 image plane상에 투영되지 않는다. 이는 수식으로 이해하면 좀 더 명확하다. 어떤 공간상의 점 $\textbf{X}$가 $P$에 의해 투영되는 점이 ideal point인 경우(image plane상에 실제로 존재하지 않는, 투영되지 않는 점)를 생각해 보자. 그러면 $P\textbf{X}=[x \ y \ 0]^T$가 성립하고, 이를 만족하기 위해서는 $\textbf{p}^{3T} \textbf{X} = 0$이어야 한다. 따라서 principal plane위의 점인 $\textbf{X}$는 $\textbf{p}^3$위에 존재하므로 이 plane은 principal plane이다.

 

비슷한 방식으로 $\textbf{p}^1$ 과 $\textbf{p}^2$를 해석해 보면 각각 image plane상의 y-axis와 x-axis로 투영되는 평면이 된다.