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Gauss-Newton MethodOptimization 2021. 8. 13. 12:46
1. Introduction Least Squares Method(최소제곱법 또는 최소자승법)는 주어진 데이터에 가장 잘 맞는 모델의 parameter를 구하는 방법 중 하나로 이름에서 알 수 있듯이 잔차의 제곱합을 목적함수로 한다. Linear regression에서 다루었던 것 처럼, 선형 모델의 경우에는 잔차의 제곱합이 기울기가 0이되는 지점에서 최소값을 갖기 때문에 least squares를 통해 쉽게 해를 구할 수 있다. 하지만 모델이 더이상 선형이 아닐경우에는 기울기가 0이되는 점이 유일하지 않을 수 있다. 그림 1과 같이 중심이 (0, 0)이고 반지름의 길이가 1인 원(red line)으로 부터 sampling된 반원 데이터(blue points)가 주어졌다고 해 보자. 원을 a, b, r의..
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Linear RegressionOptimization 2021. 8. 4. 20:24
1. Introduction 기계학습(machine learning)의 기본 목적은 주어진 데이터를 해석하여 미래에 발생할 일을 예측하고자 하는 것 이다. 예를 들어, 어떤 에어컨 판매 회사의 연도별 판매 대수를 아래의 그림 1의 왼쪽과 같이 알고 있다면, 앞으로의 판매량을 예측하는데 기계학습을 이용할 수 있다. 위 데이터로부터 향후의 에어컨 판매량을 예측할 수 있는 가장 쉬운 방법은 그림 1의 오른쪽과 같이 데이터에 잘 맞는 직선을 하나 정하는 것 임을 직관적으로 알 수 있다. 즉, 주어진 데이터를 가장 잘 설명하는 선형 모델(linear model)로 부터 값을 추정하는 방법이며 이 선형 모델을 정하는 것(흔히 linear model을 modeling한다고 표현한다)을 선형 회귀(linear regr..
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[22] Computation of the Fundamental Matrix FMultiple View Geometry 2021. 6. 12. 18:34
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Computation of the fundamental matrix F Fundamental matrix는 다음과 같은 equation으로 정의된다. 아래의 식에서 $\textbf{x}, \ \textbf{x}'$은 homogeneous coordinate로 표현된다.$$ \textbf{x}'^T F \textbf{x} = 0$$ $$ x'xf_{11} + x'yf_{12} + x'f_{13}+y'xf_{21}+y'yf_{22}+y'f_{23}+xf_{31}+yf_{32}+f_{33} = 0 $$ $$..
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[21] The Essential MatrixMultiple View Geometry 2021. 6. 9. 15:47
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) The essential matrix Essentail matrix는 normalized image coordinate case에서의 fundamental matrix이다. 반대로, fundamental matrix는 generalized essential matrix인 샘 이다. Essential matrix는 fundamental matrix보다 더 적은 dof를 갖고 있고 추가적인 properties를 이용할 수 있다. (2) Normalized coordinates Calibration matr..
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[20] Epipolar Geometry and the Fundamental Matrix (2)Multiple View Geometry 2021. 6. 9. 15:15
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Properties of the fundamental matrix Fundamental matrix에 대해서 다음과 같은 내용들이 성립한다. - 두 대응점 쌍 $\textbf{x}, \textbf{x}'$에 대하여 $\textbf{x}'F\textbf{x}=0$ - $F$가 $P, P'$의 fundamental matrix이면 $F^T$는 $P', P$의 fundamental matrix - 어떤 카메라의 epipolar line은 대응하는 다른 카메라 이미지가 fundamental matrix를 통해..
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[19] Epipolar Geometry and the Fundamental MatrixMultiple View Geometry 2021. 6. 8. 17:30
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Epipolar geometry 3D 공간상의 한 점 $\textbf{X}$가 서로 다른 위치에 있는 두 카메라 $\textbf{C}, \textbf{C}'$의 이미지 평면(image plane)에 투영(projection)될 때 $\textbf{X}, \textbf{C}, \textbf{C}'$은 epipolar plane $\boldsymbol{\pi}$를 형성한다. 이 때 그림 1의 (b)에서와 같이 카메라 $\textbf{C}, \textbf{C}'$을 연결한 직선을 base line이라고 하며..
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[18] Camera Calibration (2)Multiple View Geometry 2021. 4. 21. 11:05
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Zhang's method 여기에서는 일반적으로 널리 쓰이는 camera calibration 방법인 Zhang's method에 대하여 설명한다. 이 방법은 checker board를 이용하여 camera matrix를 구한다. 위 checker board의 그림에서 붉은 색 원으로 표시된 점을 coner point라고 한다. 이 checker board의 한 사각형의 길이를 알고 있다는 가정 하에서 가장 왼쪽 위의 coner point를 origin으로 하고 해당 plane을 $Z=0$인 것으로 설..
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[17] Camera Calibration (1)Multiple View Geometry 2021. 4. 21. 06:02
본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다. 해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. (1) Camera calibration 3차원 공간상의 한 점을 image plane상의 점으로 투영하는 camera matrix $P$를 계산 하는 것은 일반적으로 camera calibration이라고 불린다. Camera matrix $P$는 $\mathbb{P}^3$에서 $\mathbb{P}^2$로 mapping하는 3 x 4 matrix이다. 따라서 scale factor를 제외한 나머지 11개의 element들을 구함으로써 matrix를 정의할 수 있고 이는 이론적으로 최소 6개의 대응점 쌍을 필..