[21] The Essential Matrix

본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다.

 

해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. 

 

(1) The essential matrix

 

Essentail matrix는 normalized image coordinate case에서의 fundamental matrix이다. 반대로, fundamental matrix는 generalized essential matrix인 샘 이다. Essential matrix는 fundamental matrix보다 더 적은 dof를 갖고 있고 추가적인 properties를 이용할 수 있다.

 

(2) Normalized coordinates

 

Calibration matrix $K$를 알 때, $\hat{\textbf{x}}=K^{-1}\textbf{x}$라고 하면, $\hat{\textbf{x}}=[R|\textbf{t}]\textbf{X}$이며 이 때 $\hat{\textbf{x}}$를 normalized coordinates라고 한다. 또한 $K^{-1}P=[R|\textbf{t}]$를 normalized camera matrix라고 한다.

 

어떤 두 nomarlized camera matrix를 $P=[I|\textbf{0}], P'=[R|\textbf{t}]$라고 하면 essential matrix는 다음과 같다.

$$E=[\textbf{t}]_\times R = R[R^T \textbf{t}]_\times$$  

 

또한 다음이 성립한다.

$$\hat{\textbf{x}}'^T E \hat{\textbf{x}} = 0$$

$$E = K'^T F K$$

 

(3) Properties of essential matrix

 

- Essential matrix의 dof는 5이다. 이는 $R$과 $\textbf{t}$가 각각 3의 dof를 갖고 있고 up to scale로 define 되기 때문에 5개의 ratio만 필요하기 때문이다.