[20] Epipolar Geometry and the Fundamental Matrix (2)

본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다.

 

해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. 

 

(1) Properties of the fundamental matrix

 

Fundamental matrix에 대해서 다음과 같은 내용들이 성립한다.

 

- 두 대응점 쌍 $\textbf{x}, \textbf{x}'$에 대하여 $\textbf{x}'F\textbf{x}=0$

 

- $F$가 $P, P'$의 fundamental matrix이면 $F^T$는 $P', P$의 fundamental matrix

 

- 어떤 카메라의 epipolar line은 대응하는 다른 카메라 이미지가 fundamental matrix를 통해 투영된 것임 즉, $$\textbf{l}'=F \textbf{x}, \ \textbf{l}=F^T \textbf{x}'$$

 

- Epipolar line은 epipole을 포함한다. 따라서 다음이 성립

 

$$ \textbf{e}'^T(F\textbf{x}) = 0 \ (\textbf{e}'^TF)\textbf{x} = 0 \ for \ all \ \textbf{x} $$

$$ \textbf{e}'^T F = 0 \ \rightarrow \ \textbf{e}' \ is \ the \ left \ null \ vector \ of \ F $$

$$ \textbf{e} \ is \ the \ right \ null \ vector \ of \ F $$

 

- $det(F) = 0$ 이므로 3x3 matrix $F$의 dof는 7이다.

 

(2) The epipolar line homography

그림 3. Epipolar line homography

$\textbf{l}, \textbf{l}'$이 대응되는 epipolar lines 라면 epipole $\textbf{e}$를 통과하지 않는 임의의 직선 \textbf{k}에 대하여 다음이 성립한다.

 

$$ \textbf{l}' = F[\textbf{k}]_\times \textbf{l} $$

$$ \textbf{l} = F^T[\textbf{k}']_\times \textbf{l}' $$

 

이는 $[\textbf{k}]_\times \textbf{l}$이 epipolar line위의 한 점 $\textbf{x}$이기 때문이다.