[2] Duality and Conic

본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다.

 

해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. 

 

 

(1) Duality

 

$\mathbb{P}^2$ 공간에서는 점과 직선이 대칭성(duality)를 보인다. 이는 해당 공간에서 성립하는 여러 점과 직선의 벡터 방정식에서 두 벡터의 위치를 바꾸어도 성립하는것을 의미한다.

 

$$ \textbf{x}^T \textbf{l} = 0 \Leftrightarrow \textbf{l}^T \textbf{x}=0 $$

$$ \textbf{x} = \textbf{l} \times \textbf{l}' \Leftrightarrow \textbf{l} = \textbf{x} \times \textbf{x}' $$

 

(2) Conic

 

Conic은 2차원 평면에서 다음과 같은 이차식으로 정의된 곡선을 의미한다.

 

$$ ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f = 0 $$

 

Conic 또한 homogeneous representaiton이 가능한데, 이는 변수 $x, \ y$를 각각 $x \rightarrow x/z, \ y \rightarrow y/z$로 변환함으로써 아래와 같이 얻을 수 있다.

 

$$ ax^2 + bxy +cy^2 + dxz + eyz + fz^2 = 0 $$

 

$$ \begin{equation} \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b/2 & d/2 \\ b/2 & c & e/2 \\ d/2 & e/2 & f \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \end{equation} = 0 $$

 

위 식에서 중간에 있는 $(3 \times 3)$ symmetric 행렬을 conic C라고 하며 따라서 conic 위의 점 $\textbf{x}$와 conic $C$는 다음이 성립한다.

 

$$ \textbf{x}^T C \textbf{x} = 0 $$

 

Conic $C$는 homogeneous 좌표계로 표현되었기 때문에 scale factor $f$를 제외한 다섯 개의 계수 $a, b, c, d, e$로 결정된다. 따라서 $C$의 degree of freedom은 5이며 이는 5개의 점으로 하나의 conic을 매개화 할 수 있음을 의미한다.

 

$$ \begin{equation} \textbf{x}_i = \begin{bmatrix} x_i^2 & x_iy_i & y_i^2 & x_i & y_i & 1 \end{bmatrix}^T \end{equation} $$

 

$$ \begin{equation} \textbf{c} = \begin{bmatrix} a & b & c & d & e & f \end{bmatrix} \end{equation} $$

 

$$ \begin{equation} \begin{bmatrix} \textbf{x}_1^T \\ \textbf{x}_2^T \\ \textbf{x}_3^T \\ \textbf{x}_4^T \\ \textbf{x}_5^T \end{bmatrix} \textbf{c} = 0 \end{equation} $$

 

(3) Tangent lines to conics

 

Conic $C$ 위에서의 한 점 $\textbf{x}$에서의 접선 $\textbf{l}$은 다음을 만족한다.

 

$$ \textbf{l} = C\textbf{x} $$

 

위 식에 대한 증명은 다음과 같다.

 

(Proof)

 

- 한 직선과 그 위의 점은 $ \textbf{l}^T \textbf{x} = 0 $로 표현할 수 있고 conic은 $ \textbf{x}^T C \textbf{x} = 0 $를 만족한다. 이는 $ \textbf{x}^T C = \textbf{l}^T $ 인 경우에도 성립한다.

 

- 또 다른 한 점 $\textbf{y}$가 직선과 conic위에 동시에 존재한다고 가정하면 $\textbf{y}^T C \textbf{y} = 0$이 성립하고 따라서 $ (\textbf{x} + \alpha \textbf{y})^T C (\textbf{x} + \alpha \textbf{y}) = 0 $ 을 유도할 수 있다. 이는 $\textbf{x}$ 와 $\textbf{y}$를 연결하는 직선이 conic C 위에 있음을 의미한다. (degenerate case)

 

(4) Dual conic

 

$\mathbb{P}^2$ 에서 점과 직선은 dual이다. 따라서 conic $C$가 점$\textbf{x}$로 $\textbf{x}^T C \textbf{x}$과 같이 매개화될 때 dual conic은 $C^*$ 직선 $\textbf{l}$에 대하여 $\textbf{l}^T C^* \textbf{l}$로 매개화 된다.

 

$C$가 rank 3 non-singular symmetric일 때 $C^* = C^-1$ 이며 이는 간단히 유도가 가능하다. $C$의 rank가 2일 때 $C$는 $C=\textbf{l}\textbf{m}^T + \textbf{m}\textbf{l}^T$와 같이 두 개의 직선으로 정의되며, rank가 1일 때는 $C=\textbf{l}\textbf{l}^T$로 정의된다. 각각의 경우에 dual conic은 다음과 같다.

 

$$C_{2}^* = \textbf{x}\textbf{y}^T + \textbf{y}\textbf{x}^T$$

$$ C_{1}^* = \textbf{x}\textbf{x}^T $$