[5] Circular Point and Similarity

본 포스트는 학습한 것을 정리할 목적으로 작성되었습니다.

 

해당 포스트의 내용 및 그림, 수식 등은 'Multiple View Geometry in Computer Vision' 책을 참고하였습니다. 

 

 

Homography $H$가 line at infinity를 보존할 때 $H$는 affine transfrom이다. 비슷하게 $H$가 circular points set을 보존할 때 H는 similarity이다. Circular point(absolute point)는 아래와 같이 complex number를 포함하는 두 개의 점이다.

 

$$ \begin{bmatrix} 1 & \pm i & 0  \end{bmatrix} $$

 

증명은 다음과 같다.

 

<Proof>

 

$$ H \begin{bmatrix} 1 \\ i \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ \pm i \\ 0 \end{bmatrix}$$

를 만족해야 하므로 $h_{31}+ih_{32} = 0$이다. 이 때 $H$는 real matrix이므로 $h_{31}=h_{32}=0$이 성립한다. 따라서 H는 일단 affine transform이다.

 

$$ H = \begin{bmatrix} A & \textbf{t} \\ \textbf{0} & 1 \end{bmatrix} $$

 

Circular point를 $P_{\pm} = \begin{bmatrix} 1 \\ \pm i \\ 0 \end{bmatrix}$  라고 하고 $A = \begin{bmatrix} \textbf{c}_1 & \textbf{c}_2 \end{bmatrix}$ 라고 하면 $HP_{\pm} = \begin{bmatrix} A \begin{bmatrix} 1 \\ \pm i \end{bmatrix} \\ 0 \end{bmatrix}$ 이고 $A$는 real matrix이므로 다음이 성립한다.

 

$$ A \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} = \textbf{c}_1 + i\textbf{c}_2 \begin{bmatrix} \lambda \\ i\lambda \end{bmatrix} $$

$$ A \begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix} = \textbf{c}_1 - i\textbf{c}_2 \begin{bmatrix} \lambda' \\ -i\lambda' \end{bmatrix} $$

$$ \lambda + \lambda'  \Subset \mathbb{R} $$

$$ \lambda - \lambda' \Subset i\mathbb{R} $$

 

따라서 다음이 성립한다.

 

$$ \lambda = c + is \ \& \ \lambda' = c' + is'$$

$$ s = -s' \ \& \ c = c'$$

 

$$ rA = \begin{bmatrix} c & s \\ -s & c \end{bmatrix} $$

 

따라서 $H$는 simirality이다.